Introducción

En este Bloque analizaremos las características de las funciones polinomiales de grado mayor a dos en particular a la función cubica (n=3) y la función de grado cuatro (n=4). Además, describiremos brevemente el comportamiento de la función polinomial nen general.

iniciaremos con un problema que une de manifiesto la necesidad de los modelos cúbicos y después haremos el análisis de la función en general.

Funciones polinomiales de 3° grado

Es posible notar que, cuando el valor de $x$ se aproxima a infinito o menos infinito, el término $ax^{3}$ en valor absoluto, sin considerar el signo, es más grande que los otros términos del polinomio $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ por lo que, el término $ax^{3}$ predominará en los extremos de la gráfica de $f(x)$ , esto es, el valor de $f(x)$ será casi tan grande como el valor de $ax^{3}$ , lo que pueda llegar a restar $bx^{2}+cx+d$ no será suficiente como para frenar el crecimiento de $ax^{3}$ .

Por otro lado, $ax^{3}$ crece al infinito en uno de sus extremos y a menos infinito en otro, pues cuando $x$ es negativo $x^{3}$ sigue siendo negativo. Finalmente, este comportamiento se mantiene en $f(x)$ , pues es un comportamiento al infinito. En el siguiente plano podrás apreciar gráficamente la explicación anterior.

a>0 a<0

Debido a la continuidad de los polinomios, no importa mucho el comportamiento de

$f$ en el recuadro azul, pues la gráfica abarcará todos los puntos que faltan por cubrir. De aquí que el rango es el conjunto de los números reales.

Funciones polinomiales de 4° grado

El dominio de un polinomio de grado

$4$ es el conjunto de los números reales.

Como se mencionó anteriormente, encontrar el rango de una función polinomial de grado $4$ se traduce a encontrar el mínimo o el máximo de la función $f$ . Más adelante aprenderás a obtener el máximo y mínimo de una función, por lo pronto, nos enfocaremos en obtener una aproximación del máximo o del mínimo a partir de la gráfica de $f$ . A continuación, se proporcionará una breve explicación de por qué el rango de una función polinomial de grado $4$ , $f(x)=ax^{4} + bx^{3} +cx^{2}+dx+e$ es $[m,∞)$ cuando $a>0$ , o bien, $(-∞,M]$ cuando $a < 0$ , donde $m$ y $M$ son el mínimo y el máximo de $f$ .

El valor del término $ax^{4}$ en el polinomio $f(x)=ax^{4} + bx^{3} +cx^{2}+dx+e$ será mucho más grande que el resto de los términos cuando $x$ toma valores muy grandes. Esto significa que, cuando el valor de $x$ aumente al infinito el valor de la función será muy parecido al de $ax^{4}$ . Si $a < 0$ , el término $ax^{4}$ tiende a menos infinito en ambos extremos de la gráfica, al igual que la función. Por otro lado, si $a>0$ , el término $ax^{4}$ tiende a infinito en ambos extremos de la gráfica, al igual que la función. La siguiente figura muestra cómo se comporta la gráfica de $f$ en los extremos, aunque falta saber qué pasa en medio:

$f (x) = x^{4} -3 x^{2} - 4$

Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Aprenderás a analizar las funciones polinomiales de grados 3 y 4 con la intención de graficarlas. Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Empezamos con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados teóricos.

Función polinomial de tercer grado

La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma:

$\begin{equation*} y = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \end{equation*}$

donde $a_3 \neq 0$ . La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica.

Ejemplo 1

La función polinomial de tercer grado más sencilla es:

$\begin{equation*} y = x^3 \end{equation*}$

Grafícala, encuentra sus raíces, dominio y contradominio.

Empezamos calculando sus raíces. Para que $y=0$ se requiere que $x^3 = 0$ . En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos por sí mismo tres veces obtengamos cero. El único número que satisface la condición anterior es $x=0$ . Esta es la única raíz de la función.

Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales. El contradominio se calcula de la sigiuente manera:

Observa que cuando $x$ es positivo, el resultado de elevarlo alcubo es positivo también.
Cuando $x$ es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo.

Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando $x$ crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho. Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos. La gráfica de la función se muestra a continuación:

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Observa que la función $f(x) = x^3$ puede factorizarse como $y = x\cdot x\cdot x$ .

Para encontrar una raíz de la función debemos contestar a la pregunta: ¿Qué número multiplicado por sí mismo tres veces es igual a cero? Y la respuesta es obvia: el número cero multiplicado por sí mismo nos da cero, $(0)(0)(0) = 0$ . Es decir, $x=0$ es una raíz de la función, porque $f(0) = 0$ .

Ejemplo 2

Grafica la siguiente función polinomial:

$\begin{equation*} y = x^3 - x \end{equation*}$

Calcula, además, sus raíces y su dominio y contradominio.

Empezamos calculando sus raíces. Para eso factorizamos la expresión:

$\begin{equation*} y = x\cdot(x^2 - 1) = x\cdot (x + 1)\cdot (x - 1) \end{equation*}$

De esta factorización calculamos fácilmente las raíces de la función. Para que el producto de los tres factores sea cero se requiere que al menos uno de ellos sea cero. Tenemos tres casos: $x = -1$ , $x=0$ , y $x = 1$ . Por lo tanto, la función corta al eje $x$ en $x=-1, x=0$ y $x=1$ .

De nuevo,el dominio es el conjunto de los números reales, por cerradura. Y el contradominio también, porque cuando los valores de $x$ crecen $f(x)$ crece. Esto ocurre para valores positivos como negativos. La gráfica de esta función es la siguiente: